合金鋼管下料問題，合金鋼管最優(yōu)切割方案

[ 關(guān)鍵詞：下料 切割方案 　發(fā)表日期：2022-08-27 09:08:37 ]

一、問題的敘述

　　某合金鋼管零售商從鋼管廠進(jìn)貨，將合金鋼管按照顧客的要求切割出售。從鋼管廠進(jìn)貨得到的原材料的鋼管的長度都是1850mm ，現(xiàn)在一顧客需要15 根290 mm，28 根315 mm，21 根350 mm 和30 根455 mm 的鋼管。為了簡化生產(chǎn)過程，規(guī)定所使用的切割模式的種類不能超過4 種，使用頻率最高的一種切割模式按照一根原料鋼管價值的1/10 增加費用，使用頻率次之的切割模式按照一根原料鋼管價值的 2/10 增加費用，以此類推，且每種切割模式下的切割次數(shù)不能太多（一根原鋼管最多生產(chǎn)5 根產(chǎn)品），此外為了減少余料浪費，每種切割模式下的余料浪費不 能超過100 mm，為了使總費用最小，應(yīng)該如何下料？

二、方案

　　本文以合金鋼管下料為背景，在盡量減少余料浪費，簡化生產(chǎn)過程等約束條件下，應(yīng)如何選取最優(yōu)切割方案使總費用最小的問題進(jìn)行了簡要的分析。首先通過提取問題中的有用信息，即所使用的切割模式的種類不能超過4 種，且每種切割模式下的切割次數(shù)不能太多（一根原鋼管最多生產(chǎn)5根產(chǎn)品）等，可以列出一系列約束條件。由于切割模式使用頻率可以有兩種或兩種以上相同，為了簡便起見，對問題進(jìn)行了一些簡化假設(shè)，然后在這些假設(shè)下建立了數(shù)學(xué)規(guī)劃模型，對問題進(jìn)行了初步解答。

　　得出最優(yōu)切割方案為：

　　共需要19 根鋼管，其中 14 根原料鋼管分別切割90mm、315mm、350mm、455mm 鋼管為1 根，2 根，0 根， 2 根；4 根原料鋼管切割為0 根，0 根，5 根，0 根；1 根原料鋼管切割為2 根，0 根，1 根，2 根；最后對本文所建立的模型又進(jìn)行了較為全面的分析和評價，并指出了一些改進(jìn)的方向。

三、問題重述

　　通過閱讀問題題目可知，該問題主要目的是要從一批長度為1850mm 的原料鋼管中切割出15 根290mm，28 根315mm，21 根350mm 和30 根455mm 三種特定長 數(shù)學(xué)建模論文 2 度的成品鋼管。合理的切割模式確定后，需要得出使切割總費用最小的切割方案。問題中的原料和成品長度都有限定，切割費用也與切割模式的使用頻率有關(guān)。其中約束條件主要有：

（1）原料鋼管長度的約束，在不同切割模式下，成品的總長度不能大于1850mm；
（2）切割產(chǎn)生的成品根數(shù)的約束，每根根鋼管最多生產(chǎn)5 根成品鋼管；
（3）切割后余料長度的約束，每根鋼管在每種切割模式下的余料不能超過 100mm；
（4）切割模式種類的約束，最終使用的切割模式不能超過4 種；
（5）費用的計算方式是與切割模式的使用頻率有關(guān)的。

四、模型假設(shè)

1、切割過程中不會產(chǎn)生報廢的情況；
2、切割過程中不會發(fā)生長度的損失；
3、客戶的需求不發(fā)生變化；
4、切割費用只與切割模式的使用頻率有關(guān)，與其他因素?zé)o關(guān)；
5、假設(shè)不同的切割模式所使用的頻率不相同

五、符號說明

符號 代表的意義 L 原料鋼管的總長度，即 mm L 1850 �� �� 表示第j 種成品鋼管的需求根數(shù)（ 4 , 3 , 2 , 1 �� i ） 表示第j 種成品鋼管的長度 表示在第i 種切割模式下切割的原料鋼管的根數(shù)（i=1、2、3、4） 表示在第i 種切割模式下一根原料鋼管切割出的第j 種成品鋼管根數(shù) 用作下標(biāo)，代表切割模式， 用作下標(biāo)，表示成品類型， 表示一根原料鋼管的價值 表示不同使用頻率的切割模式下所需的費用 P 切割總費用

六、問題分析與模型的建立

1、問題分析

　　本題屬于一維整數(shù)數(shù)學(xué)規(guī)劃類問題，解決的基本思路為：由一系列約束條件 確定不超過4 個合理的切割模式組成最優(yōu)切割方案，使總費用最少。但是又考慮到切割費用與切割模式的使用頻率有關(guān)，而不同切割模式的使用頻率可以相同。所以目標(biāo)函數(shù)是不確定的，即需要建立多種不同的模型，然后利 用lingo 軟件求出每種模型下的最優(yōu)解。最后通過將各個模型進(jìn)行對比，得出最有切割方案。

2、模型的建立

　　由于切割模式不多于4 種，且每種切割模式下的切割次數(shù)不能太多（一根原鋼管最多生產(chǎn)5 根產(chǎn)品），可以列出下列2 個約束條件：

　　（1）每根原料切割最多根數(shù)約束
　　（2）原料總長度約束

　　由原料長度，余料限制等條件可得以下幾個約束條件

　　（1）余料最大長度約束
　　（2）客戶需求數(shù)量約束

　　綜合上述約束條件，可以得到以下數(shù)學(xué)模型： 即目標(biāo)函數(shù)： 利用lingo 軟件計算模型一（源程序和運行結(jié)果見附錄）結(jié)果如下表： 切割模式 鋼管數(shù) 290 315 350 455 余料 1 14 1 2 0 2 20 2 4 0 0 5 0 100 3 1 2 0 1 2 10 4 0 1 0 3 1 55 最優(yōu)解 21.5 由表可知：最優(yōu)方案為選取19 根鋼管，其中14 根原料鋼管分別切割90mm、 315mm、350mm、455mm 鋼管為1 根，2 根，0 根，2 根；4 根原料鋼管切割為 0 根，0 根，5 根，0 根；1 根原料鋼管切割為2 根，0 根，1 根，2 根。

七、模型的分析與改進(jìn)

1、模型優(yōu)點

（1）建模思路清晰，模型的建立方案比較簡單，易于讀懂；
（2）模型結(jié)構(gòu)分明；

2、模型缺點

（1）沒有對模型進(jìn)行進(jìn)一步的優(yōu)化和更深層次的推廣；
（2）各模型的源程序近乎相同，過程顯得有些繁瑣。
（3）模型在處理切割問題時，為了簡化起見沒有考慮到多種切割模式使用頻率可能相同的情況。
（4）由于再假設(shè)中對問題進(jìn)行了簡化，因此該模型不便于推廣。

3、模型的改進(jìn)方向

（1）處理切割問題時，考慮多種切割模式使用頻率可能相同的情況。并通過改變目標(biāo)函數(shù)表達(dá)式，或者利用其他程序（如C 語言程序）來解決，其中通過改變目標(biāo)函數(shù)表達(dá)式的方法比較容易實現(xiàn)，并且各種不同情況下的源程序基本相同，只是過程稍顯繁瑣。

八、模型的評價

　　該模型盡管有很多不足之處，但是其基本思想是正確的，因此對于解決其他的一維數(shù)學(xué)規(guī)劃類問題還是具有一定的參考價值的。